カテゴリー論 (18) - Another divergence to an intruder

あれ一ヶ月ぶり？Cayley representation theorem*1を、Yoneda Lemmaを用いるより一般的な定理の特殊な場合と見るという箇所。しかしCayley theoremの方は普通に群論で考えればけっこうすんなりした証明なのだが、Yoneda lemmaを用いる方は煩雑。Yoneda lemmaの理解を助けるための例として出されているのだが、あまり旨味が分からない。どうやら本文が少し変なので苦労する。

普通の群論でのCayley theoremを証明するとき、ある群Gの要素gに対して、置換 $\sigma_g$ を

任意の $x \in G$ に対して $\sigma_g (x) = gx$

というように左置換で定義するやりかたと、

任意の $x \in G$ に対して $\sigma_g (x) = xg$

と右置換で定義するやり方があって、本によってどっちかが書いてある。それは置換群の定義が違うってことなんだろうか。特に右置換の場合、任意の $\sigma_g$ と $\sigma_h$ について $\sigma_g \circ \sigma_h (x) = \sigma_g (\sigma_h (x))$ が必ずしも成立しなくなるわけだが（置換群が可換にならない限り）、それはそれでいいんだろうか？

*1:任意の群は、その群の置換群のある部分群に同型である