問題

こないだずっと考えていた問題。

からへの全射の関数が存在する。

証明はこんな感じではないかと。この証明はＡＣを使っているが、考えていたのはＡＣを使わない証明。そっちの証明は自信がない。

カントールの定理より、 < である。いま、と置こう。するとからへの全単射の関数fが存在する。ここではの直後の後続基数であっては基数だから、 < よりを得る。すなわち、からへの単射の関数gが存在する。ここでからへの関数hを次のように構成する。

h(x)= a 　(f(a)=xとなるa∈が存在するとき）
　　　= 　 （それ以外のとき）

fが単射だからhはwell-definedであり、明らかに全射である。hfを考えれば、これが求める関数である。